1.1 段落

Markdown中，一个段落由一行或连续的多行组成。段落之间以空行分隔。同一段落内的不同行仅表示空格。

为了在段内换行，可在前行末尾输入两个或两个以上空格。 也可以输入<br>分行，但是仅对html和word格式有效，对pdf格式无效。

1.2 段内文字格式

• 斜体：星号或下划线包围的内容是强调格式，如 _text_ or *text*：text。
• 黑体：双星号或双下划线包围的内容是加重格式，如 text，__text__ or **text**。
• 下标：两个~包夹的内容为下标，如H~2~SO~4~ 显示为 H₂SO₄。
• 上标：两个^包夹内容为上标， R^2^ 显示为 R²。
• 显示代码：两个反向单撇号内，如 `code`，显示为：code¹。
• 为了使得某些有特殊意义的字符不作特殊解释， 可以在该字符前面加上反斜杠\，取消其特殊含义。比如，要插入普通的星号或下划线，可以使用反斜杠保护 \*， 或者写成段内代码格式`*`。
• 插入图片： ![图片标题](path/to/image)，更好的图形插入方式在第??节介绍。
• 脚注：^[脚注文本]。例如，这里插入脚注²

1.3 标题和分隔线

• 一级标题: 以井号#开头，或在标题下面一行输入多个等号========；
• 二级标题:两个井号##开始。 或在标题下面一行输入多个减号--------；
• 标题行前面应该空一行；
• 用三个或三个以上连续的星号组成的行， 可以转换成分隔线;
• 标题不编号：标题后增加{-}，如本文最后标题“# 参考文献 {-}”。

1.4 引用段落

在段落的每行前面加一个大于号>，表示引用。

凡事只要看得淡些，就没有什么可忧虑的了；只要不因愤怒而夸大事态，就没有什么事情值得生气的了。 ——屠格涅夫

1.5 列表

不编号列表：以 *、 - 或 +开头，空两格。下一行再空四个空格可以嵌套，如：

- 第一项
- 第二项
    - 第二项的第一项
    - 第二项的第二项

结果：

• 第一项
• 第二项
  • 第二项的第一项
  • 第二项的第二项

带编号列表：

1. 第一项
2. 第二项
3. 第三项

1.6 源程序代码

三个或以上连续的反向单撇号表示代码开头与代码结束，缩进四个空格也可以。

```
这是代码
```

或缩进四个空格:

    这是代码

使用栅栏式代码块，可以彩色语法和行号显示等多种选项，如.cpp表示C++，.c表示C，.r表示R，.python表示python等。 选项.numberLines要求该代码行编号， 选项startFrom=指定开始行号。

另外，如果代码内本身含有~行， 只要使得开头与结尾标志中的~个数更多就可以了。

~~~{.python .numberLines startFrom=101}
# 计算面积函数
def area(width, height):
    return width * height
 
def print_welcome(name):
    print("Welcome", name)
 
print_welcome("Runoob")
}
~~~

结果：

def area(width, height):
    return width * height
 
def print_welcome(name):
    print("Welcome", name)
 
print_welcome("Runoob")
}

1.7 链接

• 直接链接。
  深圳大学的网页地址是： <https://www.szu.edu.cn/> 。
  显示为 深圳大学的网页地址是： https://www.szu.edu.cn/。
• 行内式链接。
  [显示的文本](链接网址),
  例如，请参考 [RStudio](https://www.rstudio.com)，
  显示为RStudio。

2.1 Markdown公式

行内公式用两个美元符号，$y=x^2$显示\(y=x^2\)。

整行公式（display style）最简单的方法是用两双美元符号之间表示：

$$f(x) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^\infty \int_0^1 \sin^2(i t x) dt.$$，

\[ f(x) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^\infty \int_0^1 \sin^2(i t x)\ \rm{d}t . \]

矩阵和行列式公式

可以通过\begin{array}和\end{array}：

$$X=\left(\begin{array}{ccc}
x_{11} & x_{12} & x_{13}\\
x_{21} & x_{22} & x_{23}
\end{array}\right)$$

\[X=\left(\begin{array}{ccc} x_{11} & x_{12} & x_{13}\\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \end{array}\right)\]

也可以通过\begin{matrix}和\end{matrix}（有b，B，p，P，v，V等多种格式）：

$$\begin{matrix}a & b\\\\c &d\end{matrix}$$

\[\begin{matrix}a & b\\\\c &d\end{matrix}\]

$$\begin{pmatrix}a & b\\\\c &d\end{pmatrix}$$

\[\begin{pmatrix}a & b\\\\c &d\end{pmatrix}\]

$$\begin{bmatrix}a & b\\\\c &d\end{bmatrix}$$

\[\begin{bmatrix}a & b\\\\c &d\end{bmatrix}\]

$$\begin{Bmatrix}a & b\\\\c &d\end{Bmatrix}$$

\[\begin{Bmatrix}a & b\\\\c &d\end{Bmatrix}\]

$$\begin{vmatrix}a & b\\\\c &d\end{vmatrix}$$

\[\begin{vmatrix}a & b\\\\c &d\end{vmatrix}\]

$$\left|\begin{matrix}a & b\\\\c &d\end{matrix}\right|$$

\[\left|\begin{matrix}a & b\\\\c &d\end{matrix}\right|\]

$$\begin{Vmatrix}a & b\\\\c &dend{Vmatrix}$$

\[\begin{Vmatrix}a & b\\\\c & d \end{Vmatrix}\]

分段函数：

f(x)=
\begin{cases}
\sin(x) & x>0,\\
0 & x=0,\\
\cos(x) & x<0.
\end{cases}

\[ f(x)= \begin{cases} \sin(x) & x>0,\\ 0 & x=0,\\ \cos(x) & x<0. \end{cases} \]

这样的整行公式输出html格式非常简单，效果也好。但是，如果要输出pdf文档或word文档，并且公式、图表的编号还要交互引用的话，就可能有问题。所以，一般情况下，建议用LaTeX的公式环境。

2.2 LaTeX公式环境

一行整行公式：公式自动居中。

\begin{equation}
y=f(x) 
\end{equation}

\[\begin{equation} y=f(x) \end{equation}\]

关于公式编号：输出为html时，公式默认不编号，只有标注了的公式才编号。而输出为pdf时，一般默认为自动编号。

如果想输出的公式不编号，可以用equation* 环境或在该公式后面增加 \nonumber 或 \notag。其它公式环境类似，如eqnarray*, gather*, align*等。

\begin{equation*} 
\frac{d}{dx}\left( \int_{a}^{x} f(u)\,du\right)=f(x)
\end{equation*} 

\[\begin{equation*} \frac{d}{dx}\left( \int_{a}^{x} f(u)\,du\right)=f(x) \end{equation*}\]

多行公式: 用eqnarray，等号对齐用&=&，换行用 \\。

\[\begin{eqnarray} y &=& f(x)+c \tag{2.1} \\ z &=& g(y)+sin(x) \end{eqnarray}\]

公式对齐可以用 align，等号对齐用 &=；默认情况下，align 环境里每行都会指定一个编号，如果某行不要编号，可用 \notag。

\begin{align} 
g(X_{n}) &= g(\theta)+g'({\tilde{\theta}})(X_{n}-\theta) \notag \\
\sqrt{n}[g(X_{n})-g(\theta)] &= g'\left({\tilde{\theta}}\right)
  \sqrt{n}[X_{n}-\theta ] (\#eq:grad)
\end{align} 

\[\begin{align} g(X_{n}) &= g(\theta)+g'({\tilde{\theta}})(X_{n}-\theta) \notag \\ \sqrt{n}[g(X_{n})-g(\theta)] &= g'\left({\tilde{\theta}}\right) \sqrt{n}[X_{n}-\theta ] \tag{2.2} \end{align}\]

如果希望多行公式共享一个编号，可用 split环境：

\begin{equation} 
\begin{split}
\mathrm{Var}(\hat{\beta}) 
 & =\mathrm{Var}((X'X)^{-1}X'y)\\
 & =(X'X)^{-1}X'\mathrm{Var}(y)X(X'X)^{-1}\\
 & =(X'X)^{-1}\sigma^{2}
\end{split} (\#eq:multi-eq)
\end{equation} 

\[\begin{equation} \begin{split} \mathrm{Var}(\hat{\beta}) & =\mathrm{Var}((X'X)^{-1}X'y)\\ & =(X'X)^{-1}X'\mathrm{Var}(y)((X'X)^{-1}X')'\\ & =(X'X)^{-1}\sigma^{2} \end{split} \tag{2.3} \end{equation}\]

2.3 参考手册

LaTeX参考手册：https://wch.github.io/latexsheet/latexsheet-a4.pdf

RStudio 的Help还有很多使用手册(Cheatsheets)，也可以去下载：https://www.rstudio.com/resources/cheatsheets/。

3.1 行内R代码

方法是：`r R_CODE`。 如`r exp(sin(pi/2))`， 计算结果为\(e^{\sin(\pi/2)}= 2.7182818\)。

3.2 插入R代码块

代码块可以运行代码并输出文本结果、图形和表格，使得R和Markdown方便的放在一起³。

```{r}
```

代码块有丰富的控制选项，可参考 knitr 说明文档 https://yihui.name/knitr/options。

在 RStudio 左上角的Insert可插入R 代码（也可以是Python、Stan等），或者用快捷键Ctrl + Alt + I。

3.3 代码块常用选项

• eval: 代码块是否运行。 eval=FALSE代码仅显示而不实际运行。
• echo:是否在结果中显示源代码。
• results: 用选项results=选择文本型结果的类型。 取值有：
  • markup, 这是缺省选项， 会把文本型结果变成HTML的原样文本格式。
  • hide, 运行了代码后不显示运行结果。
  • hold, 一个代码块所有的代码都显示完， 才显示所有的结果。
  • asis, “as-is”, 直接输出源代码文本。knitr包的kable()函数可以把数据框转换为HTML表格。
• collapse: 是否把源代码和输出文本放在一个输出文本块。默认是分开的。
• warning, message, and error: 是否显示警告、消息和错误信息。
• include: 代码块和结果是否包含在输出文档中。当include = FALSE，但eval = TRUE，则代码块和结果都不出现在输出文档里，但仍然运行。
• cache: 是否缓存。部分修改时，仅运行修改部分。
• fig.width: R图形本身的宽度（英寸），如fig.width = 6。
• fig.height: R图形的高度，如 fig.height = 4。
• fig.asp: 表示图形的高宽比。
• out.width: R图形在生成文档中的宽度。如 out.width = '80%' 表示占页面宽度的80%。
• out.height: R图形在生成文档中的高度。
• fig.align: 图形的对齐方式，可以是'left', 'center', or 'right'。
• dev: R图形的装置。常见的有'pdf'（for LaTeX output）、 'png'（for HTML output）、 'svg'（矢量图格式）、'jpeg'（压缩格式），本文用'cairo_pdf'，可以在图形中出现中文。
• fig.cap: 图形和表格的标题。
• child: 主文件中包含的子文件。

例如：

只显示代码： {r eval=FALSE}

显示代码+编译结果：{r tidy=TRUE,warning=FALSE,message=FALSE}

只要结果，不显示代码、错误提示和报警：{r echo=FALSE,warning=FALSE,message=FALSE}

输出时不显示代码和编译的结果，仅自己在Rmarkdown中调出结果或者用于预览：
{r include=FALSE}

4.1 插入图片

方式一：Markdown插入。

方法简单，但不能自动编号，而且输出html和pdf时显示结果会不一致。

• 插入网络图片：![](网址)
• 插入本地图片：![](images/tline.png)（子目录images下），显示为：

方式二： R Mardown插入。

用knitr函数 knitr::include_graphics() 插入图形（图4.1）（设置了宽度等于页面的50%，居中）。

knitr::include_graphics("images/run.jpg")

Figure 4.1: 插入本地图形

用 include_graphics() 插入图形有如下优点：

1. 不必担心文档的输出格式。LaTeX的pdf中插入图形命令是\includegraphics{}，在Markdown中插入图形命令是![]()，它们互相不认。而函数include_graphics() 会自动选择插入方式。
2. 无论是插入图形还是由R生成的图形，控制图形属性的指令（out.width等）都含义相同。
3. 可以对所有图形设置相同的大小比例。如本文设置out.width = '75%'。

所以，最好是统一使用Rmd的插图方法。

4.2 R做图

R作图可以指定大小和对齐方式（见图4.2）。

par(mar = c(4, 4, 0.1, 0.1))
plot(pressure, pch = 19)

Figure 4.2: 图形指定大小和位置

如果一幅图里有多个子图，必须设 fig.show='hold'，并排图形加起来宽度不能超过文本宽度。如两个子图并排，每个不能超过50%⁴。

见图4.3。

par(mar = c(4, 4, 0.1, 0.1))
plot(pressure, pch = 19, type = "b")
plot(cars, pch = 19)

Figure 4.3: 两个图形并排

4.3 一个ggplot2作图的例子

软件包ggplot2(Wickham et al. 2018)是R中可视化的利器，作者是Hadley Wickham。“gg” 表示 “Grammar of Graphics”的意思，作图理念是分图层，

Plot（图形） = data（数据） + Aesthetics（美学） + Geometry（几何）

包括:

• data 指数据框(data frame)
• Aesthetics标明x和y变量，以及控制图形的颜色、大小、数据点的形状、柱形的高低等美学特征
• Geometry 表示图形的几何形状（直方图、箱线图、密度图等）
• 统计变换（Statistics）：对数据进行某种汇总，如直方图，或将二维关系用线性模型解释
• 标度（Scale）：将数据的取值映射到图形空间，例如用：颜色、大小、形状表示不同取值
• 坐标系（Coordinate）：数据如何映射到图形所在平面，提供作图所需的坐标轴和网格线
• 分面（Facet）：将数据分解为子集，进行联合展示
• 图层（Layer）：对所需的绘图操作进行一层一层叠加，最终得到所需图形

下面具体介绍一个用ggplot2作图的例子⁵。

4.3.1 散点图

library(ggplot2)
p <- ggplot(data = mpg, mapping = aes(x = cty, y = hwy))
p + geom_point()

Figure 4.4: ggplot2 with points

第一行指定数据集、映射（坐标轴），第二行表示在p的基础上加上点，geom表示的是 geometric object（几何对象）（见图4.4）。

mpg是ggplot2里面的一个关于汽车的数据集。

• cty：city miles per gallon
• hwy：highway miles per gallon
• year：year of manufacture
• displ：engine displacement, in litres
• cyl：number of cylinders
• class：“type” of car

4.3.2 变换颜色

按生产年份以颜色区分，factor(year))是把年份转化为因子形式（相当于定类变量）, 见图 4.5。

p <- ggplot(mpg, aes(x = cty, y = hwy, colour = factor(year)))
p + geom_point()

Figure 4.5: ggplot2 with points colors

4.3.3 拟合曲线

再加一行 + stat_smooth()，其中stat表示 statistical transformation，做了统计平滑拟合直线，以及置信区间, 见图 4.6。

p + geom_point() + stat_smooth()

Figure 4.6: ggplot2 with smooth trends

4.3.4 变换大小

上图的数据点明显偏小，可以让这些数据点随着汽车排量的大小而变化, 见图 4.7。

p + geom_point(aes(colour = factor(year), size = displ)) + stat_smooth()  # 排量越大，点越大

Figure 4.7: ggplot2 with variable point size

4.3.5 修改透明度

数据点太密集，增加透明度，解决点与点之间的重叠的问题, 见图 4.8。

p + geom_point(aes(colour = factor(year), size = displ), alpha = 0.5) + stat_smooth() + 
    scale_size_continuous(range = c(4, 10))

Figure 4.8: ggplot2 with transparent points

alpha=0.5 在aes()的外面，代表对所有的点都强制透明度为0.5。

4.3.6 图形分层

1999年与2008年数据点全部挤在一块，太拥挤了，应采用分层，见图 4.9。

p + geom_point(aes(colour = class, size = displ), alpha = 0.5) + stat_smooth() + 
    scale_size_continuous(range = c(4, 10)) + facet_wrap(~year, ncol = 1)

Figure 4.9: ggplot2 with facets

• facet_wrap() 是facet与wrap两个词组合，表示逐面包起来。
• ~year 表示按变量year分层，将1999与2008分开。
• ncol = 1 代表小窗口是1列，指定了1列之后，默认就是两行（因为年份一共只有两种）。如果不加这句，会默认横着排列，或者想要指定几行，则使用nrow = 1。
• 这里颜色指定了 colour = class，代表不同种类的汽车。
• 添加了scale_size_continuous(range = c(4, 10))，指定size的变化范围。在本图中，就是控制点的绝对大小的范围， 不要太大，也不要太小。

4.3.7 添加中文标注

默认情况下图形是不能出现中文的，要使得中文在图形中正常显示，必须在文档开头的output下面加上： dev: "cairo_pdf"，也可以在R代码中加上pdf.options(family="GB1")。

p + geom_point(aes(colour = class, size = displ), alpha = 0.5) + stat_smooth() + 
    scale_size_continuous(range = c(4, 10)) + facet_wrap(~year, ncol = 1) + labs(y = "每加仑高速公路行驶距离", 
    x = "每加仑城市公路行驶距离", title = "汽车油耗与型号", size = "排量", colour = "车型") + 
    theme(text = element_text(family = "STHeiti"), plot.title = element_text(hjust = 0.5))

Figure 4.10: ggplot2中显示中文

图 4.10中，

• labs()修改的是标签的名称。
• theme()主题，更偏向于格式的修改。text = element_text(family = "STHeiti") 是对字体进行修改，变为黑体。Windows系统可以不添加这行，一样会显示前面labs()中设定的中文。而如果是Mac或者Linux系统，由于字体的缺失，会显示成一个一个的框框，在图像上显示不了中文字。
• plot.title = element_text(hjust = 0.5) 调整标题的位置，不加这行，标题会居左，加上才会居中。hjust = 0.5 其实就是左右移动的意思，0.5表示居中。

5.1 用R Markdown函数kable()制作表格

用法：knitr::kable()

这是R Markdown显示表格最方便的方式，可以把数据框或模型结果转化成有格式的表格， 支持HTML、docx、LaTeX等格式，并且表格有标题选项，可以自动编号和交互引用，例如表5.1。

knitr::kable(
  head(mtcars[, 1:8], 10), booktabs = TRUE,
  caption = 'mtcars数据的前10行'
)

回归模型的回归系数用表格显示（表5.2）：

x <- rnorm(100, mean = 100, sd = 10)
y <- 2 * x + 3 * rnorm(100)
out <- lm(y ~ x)
cofs <- summary(out)$coefficients
knitr::kable(cofs, booktabs = TRUE, caption = "回归系数及显著性检验结果")

在LaTeX的pdf中，表格和图形经常会浮动位置。如果不希望表格浮动（因此表格允许跨页），可以用LaTeX软件包longtable。 当然，在html网页中不会出现这种情况，因为网页是不分页的。

用法：在 kable()中指定longtable = TRUE。如

```{r longtable, tidy=FALSE}
knitr::kable(
iris[1:10, ], longtable = TRUE, booktabs = TRUE,
caption = '用longtable包生成的一个表格'
)
```

5.2 用R软件包xtable和stargazer制作表格

R扩展包xtable 提供了一个xtable()函数， 可以用来生成HTML格式和LaTeX格式的表格， 但是需要指定输出格式(latex, html或text)，不像kable可以同时输出多种格式。如果输出pdf，需在代码块选项中选择results="asis"，并且预先加载软件包library(xtable)。

这是原始输出结果：

library("datasets")
states <- as.data.frame(state.x77[, c("Murder", "Population", "Illiteracy", "Income", 
    "Frost")])
fit <- lm(Murder ~ ., data = states)
summary(fit)

## 
## Call:
## lm(formula = Murder ~ ., data = states)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -4.7960 -1.6495 -0.0811  1.4815  7.6210 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 1.235e+00  3.866e+00   0.319   0.7510    
## Population  2.237e-04  9.052e-05   2.471   0.0173 *  
## Illiteracy  4.143e+00  8.744e-01   4.738 2.19e-05 ***
## Income      6.442e-05  6.837e-04   0.094   0.9253    
## Frost       5.813e-04  1.005e-02   0.058   0.9541    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 2.535 on 45 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.567,  Adjusted R-squared:  0.5285 
## F-statistic: 14.73 on 4 and 45 DF,  p-value: 9.133e-08

xtable不仅对数据框，还可以对许多统计模型的结果输出表格,包括回归模型、方差分析、主成分分析等。

如下是 xtable的输出结果：

library(xtable)
print(xtable(summary(fit)), type = "html")

还有一个软件包stargazer与xtable类似。

library("stargazer")
stargazer(fit, title = "Regression Results", type = "html")

5.3 Markdown表格

Markdown表格由简单文本表示，转化为HTML、docx等格式后就变成了富文本的表格。Markdown表格默认是不编号的，不能交互引用。为了使得其可交互引用，需要在表标题的 Table: 处加上引用标志，如 (\#tab:label)。

| 姓名   |  收入      |    职业          | 颜色偏好  |
|:-------|-----------:|:----------------:|-----------|
| 赵四海  |    123456  |   业务经理      |   红      |
| 刘英    |        50   |      无        |   蓝      |
| 钱德里  |      3200   |    保洁        |    灰     |

6.1 数学公式

要给公式编号，先要建立公式环境。如果公式环境是 $$...$$，那么输出html完全没问题，但是pdf和word都表现不佳。所以，如果要输出pdf格式，最好统一建立LaTeX公式环境，即 \begin{equation}...\end{equation}等。

然后标记 (\#eq:label), 例如

\begin{equation} 
  f\left(k\right) = \binom{n}{k} p^k\left(1-p\right)^{n-k}
  (\#eq:binom)
\end{equation} 

结果如下:

\[\begin{equation} f\left(k\right)=\binom{n}{k}p^k\left(1-p\right)^{n-k} \tag{6.1} \end{equation}\]

引用方法是\@ref(eq:binom)，如，参看公式 (6.1)。

6.2 定理

用下面形式创建一个定理环境:

```{theorem，label="mylabel",name="定理名"}
这是黎曼猜想。
```

一个定理的例子：

```{theorem, label="pyth", name="勾股定理"}
对于直角三角形，设$c$表示斜边的长度，$a$和$b$分别表示两条直角边的长度，则 
$$a^2 + b^2 = c^2$$
```

结果如下：

引用用法：在需要引用处插入\@ref(thm:label)。 比如，定理6.1是个著名的定理。

定义、推论、命题、公里、假设等类似。

注意，如果 echo设置为FALSE，定理编号失效。

特征函数是个极为重要的函数，见定义6.1。

This is the characteristic function of a Poisson random variable with the parameter \(\lambda=\sum_{i=1}^n \lambda_i\). From Lemma 6.1, we know the distribution of \(P_n\) is \(\mathrm{Pois}(\sum_{i=1}^n\lambda_i)\).

6.3 交互引用方式列表

对不同类型环境的交叉引用，大同小异，唯有对章节的引用区别较大。 归纳为下表。